什么是波函数呢?
波函数是一种编码量子力学系统状态的函数。通常，波函数遵循波动方程或具有波状解的修正波动方程，因此得名。
这种波动方程最著名的例子是薛定谔方程。对于一个处于标量势中的粒子，它读取
−ℏ22 m∇2ψ+ Vψ=iℏ∂ψ∂t
如果你解出ψ(x,t)函数的偏微分方程，它将具有这样的性质
∫V |ψ(x, t) 2 | d3x
给出了在给定时间t，在给定区域V内某处找到粒子的概率;因此，ψ的波函数幅值的平方可以解释为一个概率密度，ψ本身是一个概率振幅。
在粒子的总能量大于势V的区域，波函数确实像波一样，但振幅和波长在高势区域倾向于较低。不管怎样，在这个体制下，解决方案显然是摇摆不定的。如果总能量小于势能，另一方面，解是指数衰减的，不是波浪式的。不管怎样，我们仍然称ψ为波函数。
这个波函数包含了所有你可能知道的关于粒子的信息。粒子的位置永远不能确定地知道;你所能做的就是对某个区域的概率密度进行积分，得到在那个区域找到粒子的概率。因此，波函数代表了经典力学和量子力学之间最重要的区别之一。在经典力学中没有波函数，因为你只需要6个数字来描述一个粒子的状态(3个位置和3个动量坐标)，但在量子力学中你需要整个函数，有无穷多个值。
但量子力学中的薛定谔方程与经典力学中的牛顿定律或汉密尔顿方程的作用是一样的。后者描述了粒子的位置和动量如何随时间变化，前者描述了波函数如何随时间变化;所以两者都描述了物理系统的状态是如何随时间变化的。(可以毫不夸张地说，解决物理系统的时间演化是物理学的全部意义所在。)
现在，让事情变得更复杂一点，在量子力学中还有其他的波动方程，其中之一是克莱恩-戈登方程，它是薛定谔方程的相对论版本。我相信大多数物理学家不会说Klein- Gordon方程的解是波函数。这是因为，与薛定谔方程不同，克莱恩-戈登方程并不直接承认一个守恒的概率电流(如果你试图构造一个，你得到的概率密度可能是负的)，这意味着解不能被解释为概率振幅。所以仅仅让一个函数作为波动方程的解来描述量子力学粒子的状态是不够的;要使它成为一个真正的波函数，它也必须是一个概率振幅。
