Question

如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE=AC，AE与CD相交于F．求证：CE=CF

如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE=AC，AE与CD相交于F．求证：CE=CF．

Answer 1

证明：如图所示，顺时针旋转△ADE90°得到△ABG，连接CG．
∵∠ABG=∠ADE=90°+45°=135°，
∴B，G，D在一条直线上，
∴∠ABG=∠CBG=180°-45°=135°，
在△AGB与△CGB中，

AB=BC ∠ABG=∠CBG BG=BG

，
∴△AGB≌△CGB（SAS），
∴AG=AC=GC=AE，
∴△AGC为等边三角形，
∵AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），
∴∠AGB=30°，
∴∠EAC=30°，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE=

180°-30°

2

=75°，
又∵∠EFC=∠DFA=45°+30°=75°，
∴CE=CF．