Question

定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，下面关于f（x）的判断：①f（x

定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，下面关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于直线x=2对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（x）在[1，2]上是增函数；⑤f（4）=f（0）．其中判断正确的命题个数是______．

Answer 1

因为f（x+1）=-f（x）  所以f（x+2）=-f（x+1）=f（x），由函数的周期定义可知该函数的周期为2，由于f（x）为定义在R上的偶函数且在[-1，0]上为单调递增函数，所以由题意可以画出一下的函数草图为：

由图及题中条件可以得到：
①正确，周期T=2；
②由图可以知道该函数关于x=1对称，所以②不正确；
③由已知条件 y=f（x）是定义在R上的偶函数且在[-1，0]上是增函数，所以y=f（x）在[0，1]上为单调递减函数，故③错；
④f（x）在[1，2]上是增函数，故④正确；
⑤f（4）=f（0），正确．
故答案为：3