Question

一铁棒欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）用θ表示铁棒的长度L（θ）；（2）若铁棒能

一铁棒欲水平通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）用θ表示铁棒的长度L（θ）；（2）若铁棒能通过该直角走廊，求铁棒长度的最大值．

Answer 1

（1）根据题中图形可知，L(θ)＝

2

cosθ

+

2

sinθ

，θ∈(0，

π

2

)．…（4分）
（2）本题即求L（θ）的最小值．…（5分）
解法一：L(θ)＝

2

cosθ

+

2

sinθ

＝2

sinθ+cosθ

sinθ?cosθ

，
令t＝sinθ+cosθ，t∈(1，

2

]，原式可化为L(t)＝

4t

t2?1

＝

4

t? 1 t

…（9分）
因为L（t）为减函数，所以L(t)≥L(

2

)＝4

2

．…（11分）
所以铁棒的最大长度为4

2

m．…（12分）
解法二：因为

L(θ)＝ ?2cosθ sin2θ + 2sinθ cos2θ

，所以

L′(θ)＝ ?2cosθ sin2θ + 2sinθ cos2θ ＝ 2(sin3θ?cos3θ) sin2θcos2θ

=

2(sinθ?cosθ)(sin2θ+sinθcosθ+cos2θ)

sin2θcos2θ

…（9分）
因为θ∈(0，

π

2

)，所以θ∈(0，

π

4

]时，L（θ）为减函数，θ∈[

π

4

，

π

2

)时，L（θ）为增函数，所以L(θ)min＝L(

π

4

)＝4

2

，…（12分）