Question

设函数f(x)＝log4(4x+1)+ax（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；（Ⅱ）若不等式f（

设函数f(x)＝log4(4x+1)+ax（a∈R）（Ⅰ）若函数f（x）是定义在R上的偶函数，求a的值；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（-x）≥mt+m对任意x∈R，t∈[-2，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，得f（x）=f（-x）恒成立，
则log4(4x+1)+ax＝log4(4?x+1)?ax，
∴2ax＝log4

4?x+1

4x+1

＝log4

1

4x

＝?x，
∴（2a+1）x=0恒成立，则2a+1=0，故a＝?

1

2

．
（Ⅱ）f(x)+f(?x)＝log4(4x+1)+ax+log4(4?x+1)?ax＝log4(4x+1)+log4(4?x+1)
=log4(4x+1)(4?x+1)＝log4(2+4x+4?x)≥log4(2+2

4x×4?x

)＝1．
当且仅当x=0时取等号，
∴mt+m≤1对任意t∈[-2，1]恒成立，
令h（t）=mt+m，
由

h(?2)＝?2m+m≤1 h(1)＝m+m≤1

，解得?1≤m≤

1

2

，
故实数m的取值范围是[?1，

1

2

]．