Question

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF= ∠CAB．

如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF= ∠CAB． （1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长．

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Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）BC= ；BF= ．

试题分析：（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°． （2）利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA，利用比例式求得线段的长即可． 试题解析：（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，∴∠1= ∠CAB．∵∠CBF= ∠CAB，∴∠1=∠CBF，∴∠CBF+∠2=90°，即∠ABF=90°，∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线． （2）过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF= ，∠1=∠CBF，∴sin∠1= ，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB?sin∠1= ，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE= ，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= = ，∴sin∠2= = ，cos∠2= = ，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴ ，∴BF= ．