Question

如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向

如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）． （1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）设△AQP的面积为S（单位：cm 2 ），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1） s；（2）t= s时，S取得最大值为 cm 2 ；（3）不存在

试题分析：（1）由PQ∥BC可得 ，即 ，解出即可； （2）先根据勾股定理的逆定理证得∠C=90°，过P点作PD⊥AC于点D，则PD∥BC， ，即 ，解得PD=6﹣ t，即可得到S关于t的二次函数，根据二次函数的性质即可求得结果； （3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，则有S △ AQP = S △ ABC =12．由（2）可知，S △ AQP =﹣ t 2 +6t，则有﹣ t 2 +6t=12，根据此方程无解，即可作出判断． （1）∵PQ∥BC ∴ 即         解得t= ∴当t= s时，PQ∥BC   （2）∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm， ∴∠C=90°   过P点作PD⊥AC于点D． ∴PD∥BC， ∴ ， 即 ， 解得PD=6﹣ t     ∴S= ×AQ×PD= ×2t×（6﹣ t） =﹣ t 2 +6t=﹣ （t﹣ ） 2 + ， ∴当t= s时，S取得最大值，最大值为 cm 2   （3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分， 则有S △ AQP = S △ ABC =12． 由（2）可知，S △ AQP =﹣ t 2 +6t， ∴﹣ t 2 +6t=12， 化简得：t 2 ﹣5t+10=0， ∵△=（﹣5） 2 ﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解， ∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分． 点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．