Question

如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC

如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．

（1）BP=2t，则AP=10-2t．
∵PQ∥BC，∴

AP

AB

＝

AQ

AC

，即

10?2t

10

＝

2t

8

，解得t=

20

9

，
∴当t=

20

9

s时，PQ∥BC．

（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．
∴PD∥BC，
∴

AP

AB

＝

PD

BC

，
即

10?2t

10

＝

PD

6

，
解得PD=6-

6

5

t．
S=

1

2

×AQ×PD=

1

2

×2t×（6-

6

5

t）
=-

6

5

t²+6t
=-

6

5

（t-

5

2

）²+

15

2

，
∴当t=

5

2

s时，S取得最大值，最大值为

15

2

cm²．

（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S_△AQP=

1

2

S_△ABC，而S_△ABC=

1

2

AC?BC=24，∴此时S_△AQP=12．
由（2）可知，S_△AQP=-

6

5

t²+6t，
∴-

6

5

t²+6t=12，化简得：t²-5t+10=0，
∵△=（-5）²-4×1×10=-15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．
如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，
∴

AP

AB

＝

PD

BC

＝

AD

AC

，即

10?2t

10

＝

PD

6

＝

AD

8

，
解得：PD=6-

6

5

t，AD=8-

8

5

t，
∴QD=AD-AQ=8-

8

5

t-2t=8-

18

5

t．
在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD²+PD²=PQ²，
即（8-

18

5

t）²+（6-

6

5

t）²=（2t）²，
化简得：13t²-90t+125=0，
解得：t₁=5，t₂=

25

13

，
∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=

25

13

．
由（2）可知，S_△AQP=-

6

5

t²+6t，
∴S_{菱形AQPQ′}=2S_△AQP=2×（-

6

5

t²+6t）=2×[-

6

5

×（

25

13

）²+6×

25

13

]=

2400

169

（cm²）．
所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为

2400

169

cm²．