Question

已知函数f（x）=lg 1+x 1-x ．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调

已知函数f（x）=lg 1+x 1-x ．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并证明．（3）求证：f（a）+f（b）=f（ a+b 1+ab ）（4）若f（ a+b 1+ab ）=1，f（ a-b 1-ab ）=2（-1＜a＜1，-1＜b＜1），求f（a），f（b）的值．

Answer 1

（1）∵ 1+x 1-x ＞0 ∴-1＜x＜1，即函数的定义域（-1，1） ∵定义域关于原点对称 f（-x）=1g 1-x 1+x =lg 1+x 1-x =-f（x）故f（x）为奇函数 （2）任取区间（0，1）上的两个实数，a，b且a＜b 则f（a）-f（b）= lg 1+a 1-a -lg 1+b 1-b = lg( 1+a 1-a ÷ 1+b 1-b ) = lg( 1+a 1-a ? 1-b 1+b ) ＞0 即f（a）＞f（b） ∴f（x）在（0，1）上为减函数． （3）∵f（a）+f（b）=lg 1+a 1-a +1g 1+b 1-b =1g 1+a+b+ab 1-a-b-ab 又∵f（ ( a+b 1+ab ) ）=1g 1+ a+b 1+ab 1- a+b 1+ab =1g 1+a+b+ab 1-a-b+ab ， ∴f（a）+f（b）=f（ ( a+b 1+ab ) ） （4）∵f（a）+f（b）=f（ ( a+b 1+ab ) ） ∴f（a）+f（b）=1 f（a）+f（-b）=f（ ( a-b 1-ab ) ）， ∴f（a）+f（-b）=2 ∵f（-b）=-f（b）， ∴f（a）-f（b）=2， 解得：f（a）= 3 2 ，f（b）=- 1 2 ．