Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．（1）

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．（1）证明：EF=CF；（2）若AD=3AE，求CF的长．

Answer 1

解：（1）证明：过D作DG⊥BC于G，
由已知可得四边形ABGD为正方形，
∵DE⊥DC，
∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，
∴∠ADE=∠GDC．
又∵∠A=∠DGC且AD=GD，

∠ADE＝∠GDC AD＝DG ∠DGC＝∠DAE

，
∴△ADE≌△GDC，
∴DE=DC且AE=GC．
在△EDF和△CDF中，

DE＝DC ∠EDF＝∠CDF DF＝DF

，
∴△EDF≌△CDF，
∴EF=CF；
（2）∵AD=3AE，AB=AD=6，
∴AE=GC=2，
∴BC=8，BE=4，
设CF=EF=x，则BF=8-CF=8-x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：x²=（8-x）²+4²，
解得x=5，
即CF=5．