Question

如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过D点的直线与AB的延长线交于点C．（1）若∠A=25°，∠C=40°，求证：

如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过D点的直线与AB的延长线交于点C．（1）若∠A=25°，∠C=40°，求证：CD是⊙O的切线；（2）当∠A与∠C满足什么关系时，直线CD与⊙O相切．请直接写出你得到的结论；（3）若CD是⊙O的切线，且AB=14，BC：DC=3：4，求OC的长．

Answer 1

解：（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠B=∠ADO=25°，
∴∠DOC=25°+25°=50°，
∴∠ODC=180°-∠C-∠DOC=90°，
∴CD是⊙O的切线．

（2）当2∠A+∠C=90°时，直线CD与⊙O相切．

（3）设DC=4x，BC=3x，
由切割线定理得：（4x）²=3x（3x+14），
∴x=6，
∴OC=3x+7=25，
答：OC的长是25．