Question

如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，取CB的中点E，DE的延长线与AB的延长线交

如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，取CB的中点E，DE的延长线与AB的延长线交于点P．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若OB=BP，AD=6，求BC的长；（3）如图2，连接OD，AE相交于点F，若tan∠C=2，求AFFE的值．

Answer 1

（1）证明：如图1，连接BD，OD，OE．
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°．
∵E是BC中点，
∴DE=EC=EB．
在△ODE和△OBE中

OD＝OB OE＝OE DE＝BE

，
∴△ODE≌△OBE（SSS）．
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴OD⊥DP，
∴PD是⊙O的切线．

（2）解：∵OB=BP，∠ODP=90°，
∴DB=OB=BP，即DB=OB=OD．
∴△ODB是等边三角形．
∴∠DOB=60°．
∴∠A=30°．
又∵∠ABC=90°，
∴∠C=60°．
∴∠CBD=30°．
∴CD＝

1

2

BC，BC＝

1

2

AC．
设CD=x，BC=2x，
∵AD=6，
∴2x＝

1

2

(6+x)．
∴x=2．
∴BC=4．

（3）解：如图2，连接BD，OE．
∵tan∠C=2，∠CDB=90°，
∴

BD

CD

=2．
又∵∠ABD=∠C=60°，
∴

AD

BD

=2．
设CD=a，BD=2a，AD=4a，
∴AC=5a．
∵O是AB中点，E是BC中点，
∴EO∥AC，OE=

1

2

AC=

5

2

a．
∴

AF

FE

＝

AD

OE

，
∴

AF

FE

＝

4a

5 2 a

＝

8

5

．