Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=0，对任意n∈N*，都有nan+1=Sn+n（n+1）．（1）求数列{an}的通项公式；

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=0，对任意n∈N*，都有nan+1=Sn+n（n+1）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足an+log2n=log2bn，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（本小题满分14分）
解：（1）当n≥2时，na_n+1=S_n+n（n+1），（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1），…（1分）
两式相减得na_n+1-（n-1）a_n=S_n-S_n-1+n（n+1）-n（n-1），…（3分）
即na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，得a_n+1-a_n=2．…（5分）
当n=1时，1×a₂=S₁+1×2，即a₂-a₁=2．…（6分）
∴数列{a_n}是以a₁=0为首项，公差为2的等差数列．
∴a_n=2（n-1）=2n-2．…（7分）
（2）∵a_n=log₂n=log₂b_n，
∴bn＝n?2an=n?2^2n-2=n?4^n-1．…（9分）
∴Tn＝40+2×4+3×42+…+n?4n?1，①
4T_n=4+2×4²+3×4³+…+n?4ⁿ，②…（11分）
①-②得-3T_n=4⁰+4+4²+…+4^n-1-n?4ⁿ
=

1?4n

1?4

?n?4n
=

(1?3n)?4n?1

3

．…（13分）
∴Tn＝

1

9

[(3n?1)?4n+1]．…（14分）