Question

已知函数f（x）=ax2+2ln（1-x），其中a∈R．（1）是否存在实数a，使得f（x）在x=12处取极值？试证明你的

已知函数f（x）=ax2+2ln（1-x），其中a∈R．（1）是否存在实数a，使得f（x）在x=12处取极值？试证明你的结论；（2）若f（x）在[-1，12]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）假设存在实数a，使得f（x）在x=

1

2

处取极值．
∵函数f（x）=ax²+2ln（1-x），
∴f′（x）=2ax+

2

x?1

，f′（

1

2

）=a-4=0，a=4，
检验：f′（x）=

8x2?8x+2

x?1

=

2(2x?1)2

x?1

≤0，
即f（x）在（-∞，1）上单调递减，
故

1

2

不为极值点．
故不存在实数a，使得f（x）在x=

1

2

处取极值．
（2）f（x）在[-1，

1

2

]上是减函数等价为
f′(x)＝2ax?

2

1?x

≤0在[?1，

1

2

]上恒成立，
即ax²-ax+1≥0在[?1，

1

2

]上恒成立．
令g（x）=ax²-ax+1，
a=0，1＞0显然成立；
a＞0时，区间[-1，

1

2

]为减区间，只要g（

1

2

）≥0，即

1

4

a-

1

2

a+1≥0，解得a≤4，∴0＜a≤4；
当a＜0时，区间[-1，

1

2

]为增区间，只要g（-1）≥0，解得a≥-

1

2

，∴-

1

2

≤a＜0．
综上，实数a的取值范围是[-

1

2

，4]．