Question

已知顶点为A（1，5）的抛物线y=ax2+bx+c经过点B（5，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），设C，

已知顶点为A（1，5）的抛物线y=ax2+bx+c经过点B（5，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD的最小周长；（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD．设点P（x，y）（x＞0）是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PQR．①当△PQR与直线CD有公共点时，求x的取值范围；②在①的条件下，记△PQR与△COD的公共部分的面积为S．求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．

Answer 1

（1）∵抛物线的顶点为A（1，5），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+5，
将点B（5，1）代入，得a（5-1）²+5=1，
解得a=-

1

4

，
∴y=-

1

4

x²+

1

2

x+

19

4

；

（2）可以过y，x轴分别做A，B的对称点A′，B′，然后连A′D，B′C，
显然A′（-1，5），B′（5，-1），连接A′B′分别交x轴、y轴于点C、D两点，
∵DA=DA′，CB=CB′，
∴此时四边形ABCD的周长最小，最小值就是A′B′+AB，
而A′B′=

(5+1) 2+(1+5) 2

=6

2

，
AB=

(5?1) 2+(1?5) 2

=4

2

，
∴A′B′+AB=10

2

，
四边形ABCD的最小周长为10

2

；

（3）①点B关于x轴的对称点B′（5，-1），点A关于y轴的对称点A′（-1，5），连接A′B′，与x轴，y轴交于C，D点，
∴CD的解析式为：y=-x+4，
联立

y＝?x+4 y＝x

，
得：

x＝2 y＝2

，
∵点P在y=x上，点Q是OP的中点，
∴要使等腰直角三角形与直线CD有公共点，则2≤x≤4．
故x的取值范围是：2≤x≤4．
②如图：

点E（2，2），当EP=EQ时，x-2=2-

1

2

x，得：x=

8

3

，
当2≤x≤

8

3

时，S=

1

2

PR?RQ-

1

2

EP²=

1

2

（x-

1

2

x）?（x-

1

2

x）-

1

2

?

2

（x-2）?

2

（x-2），
S=-

7

8

x²+4x-4，
当x=

16

7

时，S_最大=

4

7

．
当

8

3

≤x≤4时，S=

1

2

EQ²=

1

2

?

2

（2-

1

2

x）?

2

（2-

1

2

x），
S=

1

4

（x-4）²，
当x=

8

3