Question

一道几何证明题.

将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，一直角边始终经过点B，另一直角边与CD相交于Q。试探究，线段PB与线段PQ之间有怎样的大小关系，并说明你观察到的结论的正确性。
此为初二数学，本人是一名初二学生。老师布置的探究题，不是作业，郁闷，全班没人做出来，才来学学看的。要是我不做老师也不会说地。但我比较喜欢几何题。

Answer 1

先自己考虑一下哟! 之后再看答案.

这题的答案应该是：BP=PQ
解答如下：

我们需要两个定理：
1、如果A，D在线段BC两侧，且角BAC+角BDC=180度，则A，B，C，D在同一个圆上，反过来若它们在同一个圆上，则角BAC+角BDC=180度
2、如果A，D在线段BC一侧，且角BAC=角BDC，则A，B，C，D在同一个圆上，反过来若它们在同一个圆上，则角BAC=角BDC
这两个定理应该很熟悉吧？这两个定理是判断共圆的两个最基本的方法！
接着，回到原题
依题易知，角BPQ=90度，而显然角BCQ=90度
由定理1，B，P，C，Q在同一个圆上
由定理2知，角PQB=角PCB
而正方形中由于P在对角线AC上，所以角PCB=45度，即角PQB=45度
又角BPQ=90度，所以三角形BPQ为等腰直角三角形，
BP=PQ得证！！
之比为1:1

Answer 2

由于P点到BC和CD的距离都相同,可看出BPC面积比BCQ要大(这个证明很简单),所以BC大于等于CQ,所以有BP大与等于PQ,当且仅当P点在A点上时候取"='号! 所以 PB = PQ 知道吗人才

Answer 3

证明如下:连结PD
∵四边形ABCD是正方形
∴三角形BPC与三角形DPC全等
∴BP=DP,角PBC=角PDC
在四边形BPQC中
∵角BPQ与角BCQ都是直角
∴角PBC+角PQC=180度
∴角PBC=角PQD
∴角PDQ=角PQD
∴PD=PQ
∴PB=PQ

Answer 4

∵四边形ABCD是正方形
正方形对角线互相垂直平分且相等
∴PA =PB=PC
∠APB=∠CPB
∴ΔAPB全等ΔCPB
PB=PC
∵∠BPQ=∠BPC
PB=PB
∠PBC=∠PBQ
∴ΔQPB全等ΔCPB°
∴ PC=PQ
∵ PB=PC
PC=PQ
∴ PB=PQ

Answer 5

过P点做PM垂直BC交BC于点M，过P点做PN垂直CD交BC于点N！
可得:PM=PN
角BPM+角MPQ =90 角NPQ+角MPQ =90 →角BPM=角MPQ
又因为：角PMB=角PNQ=90
PM=PN
所以：三角形直角PMB全等于三角形直角PNQ
所以：PB=PQ