Question

一道几何证明题.

将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，一直角边始终经过点B，另一直角边与CD相交于Q。试探究，线段PB与线段PQ之间有怎样的大小关系，并说明你观察到的结论的正确性。
此为初二数学，本人是一名初二学生。老师布置的探究题，不是作业，郁闷，全班没人做出来，才来学学看的。要是我不做老师也不会说地。但我比较喜欢几何题。

Answer 1

你连接PD，显然角PDC=角PBC
线段PD=PB
只要证PQ=PD便可
角PBC =180-BPC-PCB =180-（90-CPQ）-45 =45+CPQ
即角PDC= 角PBC = 45+角CPQ
因为角PQD= 角PCQ+角CPQ =45+角CPQ
所以PD=PQ=PB

Answer 2

一共有三种解法：
一、过点P作PM垂直BC于M，作PN垂直CD于N
（现在证明△BPM和△QPN是全等三角形)
PM=PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵∠BPM＋∠MPQ=∠QPN+∠MPQ=90度
∴∠BPM=∠QPN
又∵∠BMP＝∠QNP＝90度
所以在直角△BPM和直角△QPN中，
∵∠BPM=∠QPN，∠BMP＝∠QNP，PM=PN
根据角角边定理得：
∴△BPM≌△QPN
∴PB＝PQ
二、1、如果A，D在线段BC两侧，且角BAC+角BDC=180度，则A，B，C，D在同一个圆上，反过来若它们在同一个圆上，则角BAC+角BDC=180度
2、如果A，D在线段BC一侧，且角BAC=角BDC，则A，B，C，D在同一个圆上，反过来若它们在同一个圆上，则角BAC=角BDC
这两个定理应该很熟悉吧？这两个定理是判断共圆的两个最基本的方法！
接着，回到原题
依题易知，角BPQ=90度，而显然角BCQ=90度
由定理1，B，P，C，Q在同一个圆上
由定理2知，角PQB=角PCB
而正方形中由于P在对角线AC上，所以角PCB=45度，即角PQB=45度
又角BPQ=90度，所以三角形BPQ为等腰直角三角形，
BP=PQ得证！！
之比为1:1
三、连接PD，显然角PDC=角PBC
线段PD=PB
只要证PQ=PD便可
角PBC =180-BPC-PCB =180-（90-CPQ）-45 =45+CPQ
即角PDC= 角PBC = 45+角CPQ
因为角PQD= 角PCQ+角CPQ =45+角CPQ
所以PD=PQ=PB
我也是初二的！这道题我做过！

Answer 3

(图加不上,自己画吧)
解:相等
理由:
过P点作PQ等于PD
∵ 四边形ABCD是正方形
∴PB=PD(角平分线上的点到两端的距离相等)
又∵PD=PQ
∴PB=PQ

得证

Answer 4

∵四边形ABCD是正方形
正方形对角线互相垂直平分且相等
∴PA =PB=PC
∠APB=∠CPB
∴ΔAPB全等ΔCPB
PB=PC
∵∠BPQ=∠BPC
PB=PB
∠PBC=∠PBQ
∴ΔQPB全等ΔCPB°
∴ PC=PQ
∵ PB=PC
PC=PQ
∴ PB=PQ
过点P作PM垂直BC于M，作PN垂直CD于N
（现在证明△BPM和△QPN是全等三角形)
依题意得：
PM=PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵∠BPM＋∠MPQ=∠QPN+∠MPQ=90度
∴∠BPM=∠QPN
又∵∠BMP＝∠QNP＝90度
所以在直角△BPM和直角△QPN中，
∵∠BPM=∠QPN，∠BMP＝∠QNP，PM=PN
根据角角边定理得：
∴△BPM≌△QPN
∴PB＝PQ
1;1 you're welcome

Answer 5

这道题的解法是：1、如果A，D在线段BC两侧，且角BAC+角BDC=180度，则A，B，C，D在同一个圆上，反过来若它们在同一个圆上，则角BAC+角BDC=180度
2、如果A，D在线段BC一侧，且角BAC=角BDC，则A，B，C，D在同一个圆上，反过来若它们在同一个圆上，则角BAC=角BDC
这两个定理应该很熟悉吧？这两个定理是判断共圆的两个最基本的方法！
接着，回到原题
依题易知，角BPQ=90度，而显然角BCQ=90度
由定理1，B，P，C，Q在同一个圆上
由定理2知，角PQB=角PCB
而正方形中由于P在对角线AC上，所以角PCB=45度，即角PQB=45度
又角BPQ=90度，所以三角形BPQ为等腰直角三角形，
BP=PQ得证！！
之比为1:1