Question

微分定义中的高阶无穷小

大家请看 高等数学(第六版).同济大学数学系 中
微分的定义 和 可微的条件证明 (可导)

在定义中并没有说明o(Δx)是Δx→0时的高阶无穷小

为什么在证明可导时 却直接用Δx→0 了！！！

定义是不是不完善呢？

Answer 1

解释如图。

追问

是 我明白他是高阶节无穷了了 但没有说要在Δx→0的条件下呀
也可以是Δx→n 或Δx→∞呀！

追答

微分计算的前提条件就是德尔塔x为无穷小量，否则讨论微分就无意义。

追问

既然是前提条件 那也应该加上吧 作为 数学定义 还有隐藏条件？

追答

整个微分学都是在德尔塔x(自变量增量)是无穷小量的基础上建立的。既然讨论微分，就一定有德尔塔x(自变量增量)是无穷小量，否则就不是微分问题，别人就不知道你在说什么。因此，只要讨论微分，大家一定是遵守德尔塔x(自变量增量)是无穷小量的原则，故而微分学中用到德尔塔x(自变量增量)是无穷小量的时候，大家都认为是天经地义的。所以很多时候，在微分学中，德尔塔x(自变量增量)是无穷小量是不用交代的，用到的时候只管用就行了。

追问

感觉还是没有很强的说服力呀

我们在讨论微分的定义 而不是在说已经知道微分 而用微分解决问题的阶段

既然是定义 就要说清楚嘛

因为像你说的那样 以后所有以微分学为基础的

都要根据微分定义而来 你说对吧！

我也有点蒙 我在反应下 还是非常感谢

追答

请认真阅读教材，微分是在学习过导数才定义的。而导数则是研究在自变量（取得德尔塔x增量）变化时函数增量与自变量增量的比值，在自变量增量去除（即得德尔塔x增量趋于0）的过程中极限是否存在的问题。德尔塔x增量趋于0自然就是无穷小量，其理至明何须多说？而导数定义考察的极限本身就是0比0型不定式，德尔塔x增量趋于0时若不是无穷小量，何来0比0型不定式极限问题。在讨论微分之前，大家就已完全清楚的的事情，再在微分定义中啰嗦一遍，有必要吗？况且，在极限学习中，教材已经定义过无穷小（大）的阶数比较问题。

追问

你的意思指 Δx→0是根据之前导数 中隐含的

这个 我可以理解

但是我认为数学就要非常严密 就像法律

例如 如果我把这个定义搬到法律中

我就说Δx不趋于0 也应该判我无罪咯

因为没有明确规定 是吧

追答

做任何事，研究任何问题，都有公认的前提和范畴。如果试图突破已被证明正确的前提和范畴，就会得到一些荒谬的结论。如果坚持自己认为正确的东西，那么，大家与你没有共同语言，无法讨论。
就像在生活中，你家在你现在位置的南面，但你却要往北面走回家。这样，你永远无法回到家里。