Question

（2012?黄浦区二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O在AB上，且CA=CO=6，cos∠CAB=13，若将△ACB绕点

（2012?黄浦区二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点O在AB上，且CA=CO=6，cos∠CAB=13，若将△ACB绕点A顺时针旋转得到Rt△AC′B′，且C′落在CO的延长线上，连接BB′交CO的延长线于点F，则BF=______．

Answer 1

解：过C作CD⊥AB于点D，
∵CA=CO，
∴AD=DO，
在Rt△ACB中，cos∠CAB=

1

3

=

AC

AB

=

6

AB

，
∴AB=3AC=18，
在Rt△ADC中：cos∠CAB=

1

3

=

AD

AC

，
∴AD=

1

3

AC=2，
∴AO=2AD=4，
∴BO=AB-AO=18-4=14，
∵△AC′B′是由△ACB旋转得到，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，
∵∠ACC′=

1

2

（180°-∠CAC′），∠ABB′=

1

2

（180°-∠BAB′），
∴∠ABB′=∠ACC′，
∴在△CAO和△BFO中，∠BFO=∠CAO，
∵CA=CO，
∴∠COA=∠CAO，
又∵∠COA=∠BOF（对顶角相等），
∴∠BOF=∠BFO，
∴BF=BO=14．
故答案为：14．

Answer 2

过C作CD⊥AB于点D，
∵CA=CO，
∴AD=DO，
在Rt△ACB中，cos∠CAB=
1
3
=
AC
AB
=
6
AB
，
∴AB=3AC=18，
在Rt△ADC中：cos∠CAB=
1
3
=
AD
AC
，
∴AD=
1
3
AC=2，
∴AO=2AD=4，
∴BO=AB-AO=18-4=14，
∵△AC′B′是由△ACB旋转得到，
∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAC′=∠BAB′，
∵∠ACC′=
1
2
（180°-∠CAC′），∠ABB′=
1
2
（180°-∠BAB′），
∴∠ABB′=∠ACC′，
∴在△CAO和△BFO中，∠BFO=∠CAO，
∵CA=CO，
∴∠COA=∠CAO，
又∵∠COA=∠BOF（对顶角相等），
∴∠BOF=∠BFO，
∴BF=BO=14．
故答案为：14．