Question

在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE=12∠BCA，PE交BO

在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P是在线段BC上任意一点（与点B不重合），∠BPE=12∠BCA，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）若ABCD为正方形，①如图（1），当点P与点C重合时．△BOG是否可由△POE通过某种图形变换得到？证明你的结论；②结合图（2）求BFPE的值；（2）如图（3），若ABCD为菱形，记∠BCA=α，请探究并直接写出BFPE的值．（用含α的式子表示）

Answer 1

解答：（1）△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到．
证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°．
∵PF⊥BG，∠PFB=90°，
∴∠GBO=90°-∠BGO，
∠EPO=90°-∠BGO，
∴∠GBO=∠EPO，
在△BOG和△POE中

∠GBO＝∠OCE OB＝OC ∠BOG＝∠COE

∴△BOG≌△POE．
∴OE=OG，
又∵∠EOG=90°，
∴将线段OE绕点O顺时针旋转90°就得到OG．
又∵OB=OP，∠POB=90°，
∴将线段OP绕点O顺时针旋转90°就得到OB．
∴△BOG可由△POE绕点O顺时针旋转90°得到．

（2）如图2，作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=90°，∠BPN=∠OCB，
∵∠OBC=∠OCB=45°，∴∠NBP=∠NPB，
∴NB=NP．
∵∠MBN=90°-∠BMN，∠NPE=90°-∠BMN，
∴∠MBN=∠NPE，
在△BMN和△PEN中

∠MBN＝∠NPE NB＝NP ∠MNB＝∠ENP

∴△BMN≌△PEN，
∴BM=PE．
∵∠BPE=

1

2

∠ACB，∠BPN=∠ACB，
∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=90°．
又∵在△BPF和△MPF中

∠BPF＝∠MPF PF＝PF ∠BFP＝∠MFP

∴△BPF≌△MPF，
∴BF=MF，即BF=

1

2

BM，
∴BF=

1

2

PE，即

BF

PE

=

1

2

．


（3）如图2，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，
∴∠BPN=∠BCA，
∵∠BPE=

1

2

∠BCA，
∴∠BPF=∠MPF，
∵PF⊥BG，
∴∠BFP=∠MFP，
在△BFP和△MFP中

∠BFP＝∠MFP PF＝PF ∠BPF＝∠MPF

∴△BFP≌△MFP（ASA），
∴BF=FM，
即BF=

1

2

BM，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DB⊥AC，
∵PM∥AC，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=90°，
∴∠BNM=90°
∵∠PFM=90°，
∴∠MBN+∠BMN=90°，∠MPF+∠BMN=90°，
∴∠MBN=∠NPE，
∵∠BNM=∠ENP，
∴△BMN∽△PEN．
∴

BM

PE

=

BN

PN

，
∵tanα=

BN

PN

=

BM

PE

=

2BF

PE

，
∴

BF

PE

=

1

2

tanα．