Question

三角函数万能公式？

Answer 1

1万能公式
证明
A+B=π-C
tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得证
同样可以得证，当x+y+z=nπ(n∈Z)时，该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC
证明
由余弦定理：a^2+b^2-c^2-2abcosC=0
正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
得（sinA）^2+（sinB）^2-（sinC）^2-2sinAsinBcosC=0
转化1-(cosA）^2+1-(cosB）^2-[1-(cosC）^2]-2sinAsinBcosC=0
即(cosA）^2+(cosB）^2-(cosC）^2+2sinAsinBcosC-1=0
又cos（C）=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB
得(cosA）^2+(cosB）^2-(cosC）^2+2cosC[cos（C）+cosAcosB]-1=0
(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC
得证
(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC
2万能三角函数公式
设tan(A/2)=t
sinA=2t/(1+t^2)（A≠2kπ+π，k∈Z）
tanA=2t/(1-t^2)（A≠2kπ+π，k∈Z）
cosA=(1-t^2)/(1+t^2)（A≠2kπ+πk∈Z）
就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示，当要求一串函数式最值的时候，就可以用万能公式，推导成只含有一个变量的函数，最值就很好求了.
其实万能公式没什么大用处

Answer 2

实际上三角函数所谓的二能万能公式就是二b倍角公式。只不过是把二倍角角的正弦余弦正确，全部用单角的正确来表示罢了。这个实际上不需要进行机械记忆理解会推导就可以了