Question

高中数学：函数问题？

Answer 1

本题依据新定义，考查了方程的解的问题以及参数的取值范围，以及换元的思想，转化思想。

分析：

（1）根据定义构造方程ax2＋x−a＝0，再利用判别式得到方程有解，问题得以解决．

（2）根据定义构造方程2x＋2−x＋2b＝0在区间[−1，2]上有解，再利用换元法，设t＝2x，求出b的范围，问题得以解决．

（3）根据定义构造方程4x＋4−x−2m（2x＋2−x）＋2（m2−3）＝0…（*）在R上有解，再利用换元法，设t＝2x＋2−x，方程变形为t2−2mt＋2m2−8＝0 在区间[2，＋∞）内有解，再根据判别式求出m的范围即可.

Answer 2

(1)
假设f(x)=ax²+x-a有局部对称点，且对称点为x0，则有
f(-x0)=ax0²-x0-a=-f(x0)=-ax0²-x0+a，即2ax0²=2a，(a≠0)，则x0=±1，因此，假设成立，f(x)=ax²+x-a必有局部对称点。
(2)设局部对称点为x，则有
2^-x +b=-(2^x +b)，即2b=-[2^x+2^-x]令g(x)=2b=-[2^x+2^-x]，x∈[1，2]
则g'(x)=-2^x ln2+2^-x ln2
=-ln2(2^x-2^-x)
当-1<x≤0时，g'(x)≥0
0≤x≤2时，g'(x)≤0
所以g(x)在[-1，2]上先递增再递减
所以g(-1)=-5/4＞g(2)=-17/4
所以g(x)min=g(2)=-17/4
g(x)max=g(0)=-2
即2b∈[-17/4，-2
则b∈[-17/8，-1]
(3)
f(x)=4^x-m·2^(x+1)+m²-3其在R上有局部对称点
即f(-x)=-f(x)在R上有解
即4^-x-m·2^(1-x)+m²-3=-4^x+m·2^(x+1)-m²+3
即2m²-m[2^(1+x)+2^(1-x)]+4^-x +4^x-6=0
即2m²-m×2×[2^x+2^-x]+(2^x+2^-x)²-8=0在R上有解
令t=2^x+2^-x≥2，
则上式变为t²-2tm+2m²-8=0在[2，+∞]有解
令g(x)=t²-2tm+2m²-8=(t-m)²+m²-8
对称轴为t=m
即g(x)=t²-2m·t+2m²-8=0在[2，+∞]有解
则有△=4m²-4·(2m²-8)=32-4m²≥0，
[2m+√(32-m²)]/2≥2 (t=2一定在这个根的左侧)
综合两式解得1-√3≤m≤2√2

追问

请问第三小问第三行最后为什么等于3-(2^x-m)²

追答

第一次出了点错误，后面修改的时候，把它漏了。。。你把它忽略就好了

追问

好的，谢谢