Question

高中数学：函数问题

已 知 函 数 f ( x ) = a lnx - x + 1, a ∈R.
(Ⅰ) 求 f（x) 的 单 调 区 间；
(Ⅱ) 若 f（x) ≤ 0 在 x∈ (0，+∞) 上 恒 成 立 ，求 实 数 a 的 值
(Ⅲ) 对 任 意 的0＜m＜n，证明：1/n -1 ＜ [f(n)-f(m)] / (n-m) ＜ 1/m -1

Answer 1

已知函数f(x)=alnx-x+1，a∈R.
(Ⅰ) 求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若f(x)≤0在x∈(0，+∞)上恒成立，求实数a的值；
(Ⅲ)对任意的0＜m＜n，证明：1/n-1＜[f(n)-f(m)]/(n-m)＜1/m-1

（1）解析：∵函数f(x)=alnx-x+1，a∈R，x>0
令f′(x)=a/x-1=(a-x)/x=0==>x=a，
f′’(x)=-a/x^2==>f′’(a)=-1/a
当a≤0时，f'(x)＜0，∴在区间(0，+∞)上，f(x)单调减；
当a＞0时，f'’(a)<0，f(x)在x=a处取极大值，
∴f(x)在区间(0，a)上单调增，在区间(a，+∞)上单调减．

（2）解析：∵f(x)≤0在x∈(0，+∞)上恒成立，
由（1）知：当a＞0时，f(x)在x=a处取极大值，
令f(a)=alna-a+1=0
解得a=1，
∴a=1时，f(x)≤0在x∈(0，+∞)上恒成立，

（3）由（2）知：a=1时，f(x)=lnx-x+1且f(x)≤0恒成立
∴lnx≤x-1恒成立
[f(n)-f(m)]/(n-m)=[(lnn-n+1)-(lnm-m+1)]/(n-m)=ln(n/m)/(n-m)-1
∵lnx-x+1<=0==>lnx<=x-1
∴ln(n/m)/(n-m)-1<=(n/m-1)/(n-m)-1<=(1/m)-1
又由lnx≤x-1知-lnx≥1-x在（0，+∞）上恒成立
∴[f(n)-f(m)]/(n-m)=[(lnn-n+1)-(lnm-m+1)]/(n-m)=ln(n/m)/(n-m)-1
=-ln(m/n)/(n-m)-1>=(1-m/n)/(n-m)-1=(1/n)-1
综上：对任意的0＜m＜n，1/n-1＜[f(n)-f(m)]/(n-m)＜1/m-1成立

追问

就是第三问中为什么 “由（2）知：a=1时，f(x)=lnx-x+1且f(x)≤0恒成立”呢？难道不应该重新求第三问吗？

追答

我没明白你意思

追问

你的第三问回答的第一行，为什么要“由2知”？题目中没说要参考第2问的结果啊。

追答

不用题说，在同一题中，前面已证明了的结论，后面是可以引用的，这是解数学题的通行规则

Answer 2

解：(Ⅰ)fx定义域为x>0
f'x=a/x-1
当a>0时，
令a/x-1>0，解得0<x<a,令a/x-1<0,解得x>a
所以f（x)的递增区间为（0，a），递减区间为（a,+∞）
当a<=0时,
f'x<0
所以f（x)的递减区间为（0，+∞）

(Ⅱ)由(Ⅰ)得f（x)当a>0时有最大值f（a)
又因为

f（x) ≤ 0 在 x∈ (0，+∞) 上 恒 成 立

所以f（a)=0
解得a=1

Answer 3

高考就考三角变换，还有就是和函数挂钩解决实际问题只要记住sin、cos、tan之间的关系，还有各自的公式就行了。sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB �
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) �
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
Sin2A=2SinA�6�1CosA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1
tan2A=2tanA/（1-tanA^2）
（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）
三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
cosα=sin(90-α)
半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
和差化积
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
积化和差
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]
诱导公式
sin(-a) = -sin(a)
cos(-a) = cos(a)
sin(π/2-a) = cos(a)
cos(π/2-a) = sin(a)
sin(π/2+a) = cos(a)
cos(π/2+a) = -sin(a)
sin(π-a) = sin(a)
cos(π-a) = -cos(a)
sin(π+a) = -sin(a)
cos(π+a) = -cos(a)
tanA= sinA/cosA
tan（π/2＋α）＝－cotα
tan（π/2－α）＝cotα
tan（π－α）＝－tanα
tan（π＋α）＝tanα 上面的和角、倍角公式和诱导公式是关键
希望能解决您的问题。