Question

证明：阶是素数的群一定是循环群。。。

Answer 1

证明：设G是一个群，|G|为素数p。首先，因为p是素数，所以p大于1（1不是素数），即G不是只由单位元构成的1阶群，G中存在异于单位元e的元素。设a∈G，a≠e，则o(a)≠1。由Lagrange定理知a的阶o(a)必定是p的因子，由于p是素数，p的因子只有1和p两个，因此只能o(a)=p。由于o(a)=|G|，所以G是循环群。证毕。

Answer 2

设群G的阶为素数p的乘群，任a∈G,a≠1，则
由a生成的子群的阶是p的约数，即p,
∴G是由a生成的子群，因此是循环群.

追问

为什么子群可以由a生成？

追答

因为群对某运算封闭。

Answer 3

设p为素数，｜G｜＝p，由bai于G的所du有元素的阶都可以被p整除，故zhi任取daoa∈G，a的阶版要么是1要么是p，若a≠1，则权a的阶＝p，如此a＾p＝1且a、a＾2、a＾3…a＾（p－1）∈G，又因为｜G｜＝p，故G＝｛1，a，a＾2…a＾（p－1）｝，这就证明了G是循环群。

扩展资料：

定理：

设（a）是—个循环群，

（1）若｜a｜＝∞，则（a）与整数加群Z同构；

（2）若IaI＝n，则（a）与模n的剩余类加群Zn同构。

证（1）｜a｜＝∞，则当m≠n时，

am≠an，（a）＝｛…，a－2，a－1，e，a1，a2，…｝．

于是令φ：（a）→Z，am→m可以证明这是循环群（a）到整数加群Z的一个双射，且

φ（am·an）＝φ（am＋n）＝m＋n＝φ（am）＋φ（an），

故φ是（a）到Z的一个同构映射，所以（a）≌Z．

（2）设IaI＝n，则（a）＝｛e，a，a2，…，an－1｝

令σ：（a）→Zn，am→［m］．

若有m，m′∈Z，m′>m使得am=am'，则am'-m=e，而an=e，所以n | m'-m，即m'=m(mod n)，因此[m′]=[m]，故σ是(a)到Zn的—个映射.

又∀［0］≤［k］≤［n－1］，有ak∈（a），使得［k］＝σ（ak），且若am≠am′，则σ（am）≠σ（am′），同时∀am、am′∈（a），

σ（am·am＇）＝σ（am＋m＇）

＝［m＋m′］＝［m］＋［m′］

＝σ（am）＋σ（am′），

所以σ是（a）到Zn的一个同构映射，即（a）≌Zn。