Question

若正项级数an收敛,级数bn发散有什么结论?

Answer 1

n=1/n，即级数an=1+1/2+1/3+...+1/n+... 级数an是发散的（调和级数）

令bn取an中的奇数项并乘上2，即bn=2{1+1/3+1/5+...+1/(2*n+1)+...}，容易知道bn是发散的。因为bn是an的一个子级数。

cn=bn-an=1-/2+1/3-1/4+...+ （-1）^n*(1/n)+... 即级数cn=（-1）^n*(1/n)（通过交错级数的性质容易求得其收敛值为ln2。）是收敛的。

举个反例：

an和bn都取调和级数。那么an*bn=(1/n)^2。易知级数an*bn（几何级数）是收敛的。因为若级数an与bn都发散，那么|an|,|bn|肯定都是发散的。

可以用反证法说明，果|an|,|bn|都收敛，那么an,bn都收敛，与已知是矛盾的。|an|+|bn|>=|an|或|an|+|bn|>=|bn|，由正项级数的性质可知|an|+|bn|是发散的。

扩展资料：

正项级数的收敛原理：

正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。（因为正项级数的部分和数列是单调增加的），若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到正无穷大。

注：由于改变级数有限个项的数值，并不会改变它的收敛性或发散性（虽然在收敛的情况下可能会改变它的“和”），所以该定理的条件可放宽为：存在正整数N与常数A＞0，使得xn≦Ayn对一切n＞N成立。

若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数。对于同号级数，只需研究各项都是由正数组成的级数，称它为正项级数。如果级数的各项都是负数，则它乘以-1后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性。