Question

试证方程x 3 －6x 2 ＋9＝0在区间(0，1)内不可能有两个不同的实根．

Answer 1

　　证法一：令函数f(x)＝x 3 －6x 2 ＋9，

　　借助计算机或计算器画出函数f(x)的图象如图所示，

　　且有f(－2)·f(－1)＜0，f(1)·f(2)＜0，

　　f(5)·f(6)＜0，

　　根据函数有零点的判定定理，得函数f(x)的零点所在的大致区间为(－2，－1)或(1，2)或(5，6)，而f(x)在区间(0，1)上无零点，所以方程x 3 －6x 2 ＋9＝0在区间(0，1)上无实根．

　　综上，方程x 3 －6x 2 ＋9＝0在区间(0，1)内不可能有两个不同的实根．

　　

　　这说明假设函数f(x)在区间(0，1)上有零点的话，也只能有一个，也绝不能有两个，从而证得方程f(x)＝0在区间(0，1)内不可能有两个不同的实根．