试证方程x 3 -6x 2 +9=0在区间(0,1)内不可能有两个不同的实根.

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天罗网17
2022-07-07 · TA获得超过6190个赞
知道小有建树答主
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  证法一:令函数f(x)=x 3 -6x 2 +9,

  借助计算机或计算器画出函数f(x)的图象如图所示,

  且有f(-2)·f(-1)<0,f(1)·f(2)<0,

  f(5)·f(6)<0,

  根据函数有零点的判定定理,得函数f(x)的零点所在的大致区间为(-2,-1)或(1,2)或(5,6),而f(x)在区间(0,1)上无零点,所以方程x 3 -6x 2 +9=0在区间(0,1)上无实根.

  综上,方程x 3 -6x 2 +9=0在区间(0,1)内不可能有两个不同的实根.

  

  这说明假设函数f(x)在区间(0,1)上有零点的话,也只能有一个,也绝不能有两个,从而证得方程f(x)=0在区间(0,1)内不可能有两个不同的实根.

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