试证方程x 3 -6x 2 +9=0在区间(0,1)内不可能有两个不同的实根.
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证法一:令函数f(x)=x 3 -6x 2 +9,
借助计算机或计算器画出函数f(x)的图象如图所示,
且有f(-2)·f(-1)<0,f(1)·f(2)<0,
f(5)·f(6)<0,
根据函数有零点的判定定理,得函数f(x)的零点所在的大致区间为(-2,-1)或(1,2)或(5,6),而f(x)在区间(0,1)上无零点,所以方程x 3 -6x 2 +9=0在区间(0,1)上无实根.
综上,方程x 3 -6x 2 +9=0在区间(0,1)内不可能有两个不同的实根.
这说明假设函数f(x)在区间(0,1)上有零点的话,也只能有一个,也绝不能有两个,从而证得方程f(x)=0在区间(0,1)内不可能有两个不同的实根.
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