Question

求微分方程的通解 2yy''=(y')^2+y^2

Answer 1

2yy''=(y')^2+y^2
同除以y'^2
2(y''y/y'^2)=1+(y/y')^2................1
y/y'=u
u'=(y'^2-y''y)/y'^2=1-y''y/y^2
y''y/y^2=1-u'代入1式：
2(1-u')=1+(u)^2
2u'=1-u^2
2du/(1-u^2)=dx
两边积分：
f [1/(1-u)+1/(1+u)]=f1dx
ln[(1+u)/(u-1)]=x+c
(1+u)/(u-1)=Ce^x
1+u=cue^x-Ce^x
u(1-Ce^x)=-Ce^x-1
u=(ce^x+1)/(ce^x-1)
y/y'=y/(dy/dx)=ydx/dy=(ce^x+1)/(ce^x-1)
1/ydy=(ce^x-1)/(ce^x+1) *dx
两边积分：
lny=f [ce^x/(ce^x+1)-1/(ce^x+1)]dx
lny=f1/(ce^x+1)d(ce^x+1)-f1/(ce^x+1)dx
lny=ln(ce^x+1)-f1/(ce^x+1)dx
其中后者设ce^x=u ..............3
则du = ce^xdx = udx
dx=1/udu...............4
将3，4式代入：
f[1/(u+1) *1/u]du
=f[1/u-1/(u+1)]du
=ln(u/(u+1))+c1
=ln(ce^x/(ce^x+1))+c1
则：
lny=ln(ce^x+1)-ln(ce^x/(ce^x+1))+c1
y=C2 (ce^x+1)^2/(ce^x)

Answer 2

2yy''=(y')^2+y^2
解：
等号两边同除以y'^2
2(y''y/y'^2)=1+(y/y')^2 ——①
y/y'=u
u'=(y'^2-y''y)/y'^2=1-y''y/y^2
y''y/y^2=1-u' 代入①式：
2(1-u')=1+(u)^2
2u'=1-u^2
2du/(1-u^2)=dx

两边积分：
f [1/(1-u)+1/(1+u)]=f1dx
ln[(1+u)/(u-1)]=x+c
(1+u)/(u-1)=Ce^x
1+u=cue^x-Ce^x
u(1-Ce^x)=-Ce^x-1
u=(ce^x+1)/(ce^x-1)
y/y'=y/(dy/dx)=ydx/dy=(ce^x+1)/(ce^x-1)
1/ydy=(ce^x-1)/(ce^x+1) *dx

两边积分：
lny=f [ce^x/(ce^x+1)-1/(ce^x+1)]dx
lny=f1/(ce^x+1)d(ce^x+1)-f1/(ce^x+1)dx
lny=ln(ce^x+1)-f1/(ce^x+1)dx
其中后者设ce^x=u ——②
∴ du = ce^xdx = udx
dx=1/udu ——③

将②、③式代入：
f[1/(u+1) *1/u]du
=f[1/u-1/(u+1)]du
=ln(u/(u+1))+c1
=ln(ce^x/(ce^x+1))+c1

∴ lny=ln(ce^x+1)-ln(ce^x/(ce^x+1))+c1
y=C2 (ce^x+1)^2/(ce^x)