Question

高等数学，有一种凸函数定义ƒ（λx1+(1-λ)x2）≥λƒ(x1)+(1-λ)ƒ(x2) 怎么证明？

有一种凸函数定义ƒ（λx1+(1-λ)x2）≥λƒ(x1)+(1-λ)ƒ(x2) 怎么证明？

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

母题如下

Answer 2

设a=λx1+(1-λ)x2,由泰勒公式：
f(x1)=f(a)+f'(a)(x1-a)+f''(ξ)(x1-a)^2/2≤f(a)+f'(a)(x1-a)
同样：f(x2)≤f(a)+f'(a)(x2-a)
λƒ(x1)+(1-λ)ƒ(x2)≤λ[f(a)+f'(a)(x1-a)]+(1-λ)[f(a)+f'(a)(x2-a)]
=f(a)+f'(a)(λx1+(1-λ)x2-a)=f(a)
即：ƒ（λx1+(1-λ)x2）≥λƒ(x1)+(1-λ)ƒ(x2)

Answer 3

定义没法证明啊，就是一个概念，不存在证明不证明的问题。
只能说某个函数是凸函数，因为符合这个凸函数的定义。