Question

矩阵的负1/2次幂是什么

Answer 1

图中是对角矩阵的(-1/2)次幂，对角矩阵的对角线元素都大于零。

对角矩阵的(-1/2)次幂还是对角矩阵，其对角线元素为原矩阵对角线元素的(-1/2)次幂。

比如，A = diag(4, 9)【2阶对角矩阵，对角线元素分别为4和9】
则，A^(-1/2) = diag(1/2, 1/3). 【A的(-1/2)次幂还是一个对角矩阵，其对角线元素分别为1/2和1/3】。

     矩阵多项式(matrical polynomial)是一种特殊矩阵。设A0，A1，…，As是数域P上的m×n矩阵，λ是一个文字，则A0λs+A1λs-1+…+As-1λ+As称为矩阵多项式。矩阵多项式涉及有矩阵多项式的运算、矩阵多项式的右（左）除。

Answer 2

图中是对角矩阵的(-1/2)次幂，对角矩阵的对角线元素都大于零。
这样，对角矩阵的(-1/2)次幂还是对角矩阵，其对角线元素为原矩阵对角线元素的(-1/2)次幂。

比如，A = diag(4, 9)【2阶对角矩阵，对角线元素分别为4和9】
则，A^(-1/2) = diag(1/2, 1/3). 【A的(-1/2)次幂还是一个对角矩阵，其对角线元素分别为1/2和1/3】

Answer 3

矩阵的-1/2是针对于正定矩阵来说。
假设A为正定矩阵，则存在正交矩阵Q和对角矩阵D，使得(Q^T)AQ=D，也即A=QD(Q^T)。因为A为正定矩阵，其特征值全部为正数，因此D的主对角元素都是正数，因此可以定义D的1/2，即将D的主对角元全部开方，所得对角矩阵记为F，F即为D的1/2，注意F为对角矩阵，因此也是对称矩阵，且D=F*F。此时，在A=QD(Q^T)=QFF(Q^T)=QF(Q^T)QF(Q^T)=[QF(Q^T)] [QF(Q^T)]，若记G=[QF(Q^T)]，则A=G*G，因此G即为A的1/2方。G的逆也即为A的-1/2方，所以A的-1/2方为[QF(Q^T)]^(-1)=Q*F^(-1)*(Q^T)，其中F^(-1)即为将D的主对角元开方后取导数所得的对角矩阵。

Answer 4

网页链接

python实现

import numpy as np

from numpy.linalg import eig, inv

def spd(A):#输入对称正定矩阵A

eig_val, eig_vec = eig(A) #特征分解

eig_diag = np.diag(1/(eig_val**0.5)) #特征值开方取倒数对角化

B = np.dot(np.dot(eig_vec, eig_diag), inv(eig_vec)) #inv为求逆

return B #返回A的-1/2次幂