Question

一个五位数除以一二三四五六七八九十一的余数互不相同这个数最小是多少？

Answer 1

使用古法：
除1，余0
除2，不能余0,只能余1
除3，不能余0,1，只能余2，
除4，不能余0,1,2,只能余3,
同理：
除5余4,除6余5,除7余6,除8余7,除9余8,除11余9或10
1,2,3,4,5,6,7,8,9,11的最小公倍数：
4=2²，6=2×3,8=2³，9=3²，
最小公倍数=1×2³×3²×5×7×11=27720
除8余7，必除4余3，除2余1,后两个不必单独列出；
除9余8，必然除3余2；
除6余5,必然除2余1,除3余2,与除8余7,除9余8分别重复，
除72余71，除2余1,除3余2，除4余3,除6余5,除8余7,除9余8
可以合并表示。
5×7×11=385
385÷72=5...25
23×385=8855=122×72十71
8855满足被5,7,11除尽，被2,3,4,6,8,9除余除数减1的要求，是第一个数。
27720÷5=5544,
5544÷5=1108……4,是第二个数；
再求27720÷7=3960，3960的倍数除7余6,
3960×4=15840=2262×7十6
15840是72,5,11的公倍数，且除7余6,是第三个数；
27720÷11=2520,
2520×9=22680=2061×11十9
22680是72,5,7的倍数，除11余9，是第四个数。
满足要求的所有数，可以表达为上述4个数和加1～9,11的最小公倍数的倍数：
8855十5544十15840十22680十27720k
=52919十27720k
k是整数，
最小的5位数，52919-27720=25199
可以验证，满足题意。