Question

若数列an前n项和Sn=2/3an+1/3，则数列an的通项等于几

Answer 1

求解过程如下：

1. n=1时，S1 = a1 = 2/3a1+1/3，得a1=1

2. n>1时，S(n-1) = 2/3a(n-1)+1/3，Sn = 2/3an+1/3

   Sn-S(n-1)=an= 2/3an+1/3-[2/3a(n-1)+1/3] = 2/3an-2/3a(n-1)

3. 整理得1/3an=-2/3a(n-1)，即an=-2a(n-1)

4. 由第3步得数列为等比数列，首项为1，公比为-2，故an = (-2)^(n-1)

本问题给出了数列前n项和与数列某一项的关系。求解此类问题时，通常借助Sn = a1+...+an的性质，将Sn与S(n-1)相减得an的表达式，整理后得出an与a(n-1)的关系，进而进一步得出an的通项公式。

数列，sequence of number，是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。数列的通项公式是指表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系的一个式子。

数列求和是指对按照一定规律排列的数进行求和。常见的方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分组法、裂项法、数学归纳法、通项化归、并项求和。

常见数列的求和公式有：

1. 等比数列：

   Sn = a1*(1-q^n)/(1-q)，q不为1时

   Sn = n*a1，q=1时

2. 等差数列：

   Sn = (a1+an)*n/2或者Sn =n*a1+n*(n-1)*d/2

Answer 2

a1=s1=2/3a1+1/3
解得：a1=1
n>1时，an=Sn-S(n-1)=2/3an-2/3a(n-1)
得：an=-2a(n-1)
因此{an}是公比为-2, 首项为1的等比数列
得an=(-2)^(n-1)