Question

微分方程y''-5y'+6y=x e^(2x)的通解 要用待定系数法来求特解些仔细点

Answer 1

我不太了解您所说的待定系数法是指的常数变易法还是舍出来特定形式的特解求常数.前者太过复杂,一般只用于证明,我先用后者来解,如果有特殊要求请在追问中注明.
先求解齐次方程y''-5y'+6y=0.
由特征方程D^2-5D+6=0解得D=-2或-3.
所以齐次方程有形如y=C1exp(2x)+C2exp(3x)的通解.
现在解非齐次方程的一个特
设非齐次方程有特解形如y0=x^k(ax+b)exp(2x).因为2是原方程的单特征根,所以取k=1.
所以y0=x(ax+b)exp(2x).令y=y0带入原方程,解得2aexp(2x)-2axexp(2x)-bexp(2x)=xexp(2x).
整理得(2a-b)exp(2x)-2axexp(2x)=xexp(2x).
所以-2a=1解得a=-0.5.
又有2a-b=0解得b=-1
所以原方程有形如y0=x(-0.5x-1)exp(2x)的特解.
所以原方程的通解为
y=C1exp(2x)+C2exp(3x)+x(-0.5x-1)exp(2x).