高数大神 这样对称为什么不对?

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咪众
高粉答主

2022-05-04 · 繁杂信息太多,你要学会辨别
知道大有可为答主
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∵x²+y²+z²=1(x≥0,y≥0)
∴z=±√(1-x²-y²)
原式=∫∫xy√(1-x²-y²)dxdy-∫∫xy(-1)√(1-x²-y²)dxdy (S表示区域:x²+y²=1,x≥0,y≥0)
=2∫∫xy√(1-x²-y²)dxdy
=2∫dθ∫r²sinθcosθ√(1-r²)rdr (极坐标变换)
=∫sin(2θ)dθ∫√(1-r²)r³dr
=[1/2-(-1/2)](1/3-1/5) (分别计算两个积分)
=2/15
可用对称性,但结果不是0,因为这里有三个对称的地方:
曲面关于xoy面对称;被积函数关于z是奇函数;上半曲面的上侧与下半曲面的下侧对称
所以结果是上半曲面的上侧上积分的2倍,而不是0
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