Question

高数 设曲线方程e∧-x(x＞0)试在此曲线上找一点 使过该点的切线与两坐标轴所夹平面图形的面积最

高数 设曲线方程e∧-x(x＞0)试在此曲线上找一点 使过该点的切线与两坐标轴所夹平面图形的面积最大 并求出该面积
求具体计算过程 谢谢

Answer 1

设切点为(u,e^(-u))，a≥0
y'＝－e^(-x)，切线的斜率k＝－e^(-u)，切线方程是y－e^(-u)＝－e^(-u)(x－u)，即
x/(1+u)＋y/[(1+u)e^(-u)]＝1
切线与两个坐标轴所围平面图形的面积s＝1/2×(1+u)^2×e^(-u)
s'＝1/2×(1+u)×(1-u)×e^(-u)
令s'＝0的u＝1，u＞1时，s'＜0，u＜1时，s'＞0，所以s在u＝1处取得极大值，也是最大值，此时切点是(1,1/e)，最大面积s＝2/e

Answer 2

设切点横坐标为x0，曲线的导数为y=-e^(-x)(x>0)，则过切点(x0，e^(-x0))的切线的点斜式方程为y-e^(-x0)=-e^(-x0)(x-x0)，与x轴交点的横坐标为x0+1，与y轴交点的纵坐标为
(x0+1)e^(-x0)，其切线与两个坐标轴之间图形的面积等于这两个值之积的二分之一，则
S=(x+1)^2e^(-x)/2，S的导数为(-x^2+3)e^(-x)/2，据此判断当x=√3时，S取最大值(2+√3)e^(-√3)

追问

为什么与x轴交点的横坐标为x0+1

追答

令y=0，就可以求出来

追问

为什么要令y等于0

追答

因为x轴上的点的纵坐标y恒等于0，自然切线与x轴的交点也满足这个条件

追问

还有一个问题 为什么图形的面积是这两个交点乘积除2呢

追答

因为两个交点的横纵坐标都是正数，这由函数y=e^(-x）的性质和题中条件x>0得出，所以可以代表这个直角三角形的底和高，自然就得出它的面积公式了

Answer 3

上面人的那个求导错了