Question

琴生不等式的证明

Answer 1

琴生不等式以丹麦技术大学数学家约翰•延森（Johan Jensen）命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式），使用时注意前提、等号成立条件。琴生不等式可以用测度论或概率论的语言给出。这两种方式都表明同一个很一般的结果。函数换作实值随机变量（就纯数学而言，两者没有分别）。在空间上，任何函数相对于概率测度的积分就成了期望值。至于这个证明，只要使用f(x)的泰勒展开式，利用其二阶余项就可以证明。
首先我们对n是2的幂加以证明，用数学归纳法
　　假设对于n=2^k琴生不等式成立，那么对于n=2^(k+1)
　　(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n
　　=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2
　　>=(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2
　　>=f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)
　　=f((x1+x2+...+xn)/n)
　　所以对于所有2的幂，琴生不等式成立。
　　现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂，我们可以找到一个k,使得2^k>n
　　然后我们设
　　x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n
　　代入2^k阶的琴生不等式结论，整理后就可以得到结论。
　　现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式
　　(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2
　　显然，我们可以查看函数f(x)=x^2
　　由于
　　(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4>=(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2
　　所以f(x)=x^2是凸函数
　　所以我们可以得到，对于任意x1,x2,...,xn,
　　有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n>=f((x1+x2+...+xn)/n)
　　也就是n阶平方平均不等式。
　　从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦。
　　不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论。
　　如果f(x)二阶可导，而且f''(x)>=0,那么f(x)是凸函数
　　如果f(x)二阶可导，而且f''(x)<=0,那么f(x)是凹函数
　　至于这个证明，只要使用f(x)的泰勒展开式，利用其二阶余项就可以证明的。

Answer 2

只对凸函数加以证明.
首先我们对n是2的幂加以证明,用数学归纳法
假设对于n=2^k琴生不等式成立,那么对于n=2^(k+1)
(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n
=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2
≥(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2
≥f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2)
=f((x1+x2+...+xn)/n)
所以对于所有2的幂,琴生不等式成立.
现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂,我们可以找到一个k,使得2^k>n
然后我们设
x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n
代入2^k阶的琴生不等式结论,整理后就可以得到结论.
现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式
(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2
显然,我们可以查看函数f(x)=x^2
由于
(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2
所以f(x)=x^2是凸函数
所以我们可以得到,对于任意x1,x2,...,xn,
有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n)
也就是n阶平方平均不等式.
从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦.
不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论.
如果f(x)二阶可导,而且f''(x)≥0,那么f(x)是下凸函数(凸函数）
如果f(x)二阶可导,而且f''(x)≤0,那么f(x)是上凸函数(凹函数)
至于这个证明,只要使用f(x)的泰勒展开式,利用其二阶余项就可以证明的.（或者构造一个函数采用中值定理）

Answer 3

数学归纳法

追问

可以给出证明嘛，我证到有一步之后证不出来了

追答