Question

对角矩阵的可交换矩阵也一定是对角矩阵，这个命题如何证明啊 ？？？？

Answer 1

这句话是不对的，正确的应该是对角矩阵的可交换矩阵也不一定是对角矩阵，证明如下：

设A为对角矩阵，对角线上的元素为ai,i=1,2,...,n

设B=(bij)n*n是和A可交换的矩阵。（这里显然B和A是同型的方阵）

AB的第i行第j列的元素为：aibij

BA的第i行第j列的元素为：bijaj

因为AB=BA

所以aibij=bijaj

又因为当i不等于j时，ai不等于aj

故bij=0

故B是个对角矩阵。

扩展资料：

对角矩阵的运算规律：

和差运算

同阶对角阵的和、差仍是对角阵。

数乘运算

数与对角阵的乘积仍为对角阵。

乘积运算

同阶对角矩阵的乘积仍为对角阵，且它们的乘积是可交换的。