Question

在大学课本中向量的点积坐标公式是用余弦定理导出的，但在高中，用向量方法证明余弦定理，这严谨吗，这不

在大学课本中向量的点积坐标公式是用余弦定理导出的，但在高中，用向量方法证明余弦定理，这严谨吗，这不算是循环论证吗

Answer 1

这个还算不上循环论证

首先这些结论本身都有不止一种证法，两本课本也不是同一个人写的，他们没有义务知道你用的是什么教材，以及别的作者写了些什么

如果高中课本里向量的内积公式也是由余弦定理推出的，并且这两个结论都没有提供过其它证法，那可以认为作者循环论证

另外，你在高中学的向量内积和大学里学的也不见得完全一样（当然肯定是一回事，但形式可能不同），不同形式之间的等价性其实也是需要证明的，你见到的两个证明就可以派这个用处
（数学上用A证明B，再用B证明A，这样做可以说明A和B等价，这和A,B本身如何由其它公理/定理来证明没有关系，甚至和A,B是否是真命题也没有关系）

追问

但是用A证明B用B证明A首先肯定得考虑A或B的正确性吧

命题里面，等价是若A成立则B成立，若B成立则B成立，说明两命题等价

可不可以这么说，若用两定理相互证明的话，只能说明两命题等价即要么全对，要么全错，但正确性要通过其他已知成立的定理论证

仅仅是此二定理互相证明的话就犯了循环论证的错误

追答

“用A证明B用B证明A首先肯定得考虑A或B的正确性吧”
——其实不需要，或者说用A证明B的时候已经自动假定了A正确，与A在别的公理体系中是否正确没关系

后面几句基本上都是对的，除了一处笔误

追问

那么我的说法正确吗

两命题等价，两个都对要么都错，正确性得依靠其他已知正确定理来证明

我明白了，谢谢

Answer 2

余弦定理用勾股定理证明即可。在向量之前即得证明。

追问

嗯，那么如果按照上述证明方法证明两定理，是不是不够严谨

追答

严谨的体系是从公理出发，依次证明所有其他定理。如果你学的教材，在向量证明余弦定理之前，没有其他对于余弦定理的证明，那就是循环论证了。不过，中小学教材本身没有太大的严密性，（有的难的定理证明都省略了，只给出结论），不是很大的问题。作为一门学问，是应该很严谨的。几何学如果往严谨了要求，现在所学的，大概十分之一。因此，教材给的仅仅是很有限的、比较实用的知识。喜欢严谨，你要多看课外书籍。不过，很难，很枯燥。如果兴趣浓厚，说不定真有数学天分，往数学方面发展，也是可以的。

追问

您说的太对了，我感觉高中物理和数学课本太粗糙了，有时候全是猜测，没有严格的数学证明，甚至有定理互证的现象，所以我买了几本大学书看，才发现这问题的

谢谢

追答

主要是严格的数学证明，大部分人是看不懂的。意义也不大。到大学学到高数，就会有一点体会了。罗素写集合论，几百页才定义到1

Answer 3

严谨吧

追答

可能是充分必要吧

追问

但是可以用a推b，再反过来用b推a?用a推理b时即是承认了a的正确性，导出b后又用b的正确性验证a本身?

追答

向量运算满足三角形法则。