Question

设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=8xy,0<x<1,0<y<x，求独立性

Answer 1

为了判断随机变量$X$和$Y$是否独立，需要判断它们的联合概率密度函数是否可以分解为各自的边缘概率密度函数的乘积。若成立，则$X$和$Y$独立，否则不独立。
首先求边缘概率密度函数$f_X(x)$和$f_Y(y)$。对$f(x,y)$在$y$的取值范围内积分得到
∫
0
x
8
x
y
d
y
=
4
x
3
,
0
<
x
<
1
∫
0
x
​
8xydy=4x
3
,0