Question

计算流体力学的基本方程

Answer 1

为了说明计算流体力学主要方法，需先了解流体力学运动的基本方程的性质和分类。流体力学的基本方程是在19世纪上半叶由C.-L.-M.-H.纳维和G.G.斯托克斯等人建立的，称为纳维-斯托克斯方程，简称N-S方程 ，二维非定常不可压缩流体的N-S方程为：
式中u、v为沿着x、y方向上的速度分量；t为时间；p为压力；ρ为密度；ν为运动粘性系数。在不同条件下，N-S方程的数学性质也不一样。
①N-S方程描述粘性流体随时间而变的非定常运动。时间项和方程右边的高阶导数项决定方程的性质。它同二维热传导方程类似，属于抛物型方程。
②粘性流体的定常运动是将原方程中的时间项省去。此时N-S方程的性质，取决于它的高阶导数项，和拉普拉斯方程一样，为椭圆型方程。
③无粘流的欧拉方程是将N-S方程的右边粘性项略去而得。它也适用于可压缩流体。从形式上不容易判断欧拉方程的性质。因多数无粘流动皆为无旋流动，故如将欧拉方程改用速度势ψ表示，则二维定常可压缩气流的方程为：
式中c为声速。此式是二阶偏微分方程
的一般形式，其性质要看B2-AC 0而定。在超声速区，B2-AC0，即，上式类似于波动方程，为双曲型；在亚声速区，B2-AC0，即，上式便与拉普拉斯方程相同，为椭圆型。总之，流体力学的运动方程是极其复杂的非线性偏微分方程，具有各种不同的类型，而且往往还是混合型的。要全面描述流体的运动，还必须同时考虑其他方程，如连续性方程、能量方程和状态方程等。所以计算流体力学在很大程度上就是针对不同性质的偏微分方程采用和发展相应的数值解方法。

Answer 2

拉格朗日和欧拉