Question

高数定积分，想看过程

Answer 1

★第二个积分的分子=1-sin²x，
把它分成两个积分后，
其中的一个可与第一个积分约去，
故原式=(只剩积分)∫dx/sin³x①
=-∫cscxdcotx
=-cscxcotx-∫cscxcot²xdx
=-cscxcotx-∫（cos²x/sin³x）dx
同★的方法得到上式
=-cscxcotx-（∫dx/sin³x）+∫dx/sinx②
由①=②得到
2∫dx/sin³x=-cscxcos+∫dx/sinx③
③中右边的积分是∫cscxdx有公式(可积出)
将结果代入②即可。

Answer 2

原式=∫cscxdx+∫cot²xcscxdx
=∫cscxdx+∫cot²xcscxdx
=∫cscxdx+∫(csc²x-1)cscxdx
=∫(csc^3)xdx
=-∫cscxdcotx
=-cscxcotx-∫cot²xcscxdx (用分部积分）
=-cscxcotx-∫(csc²x-1)cscxdx
=-cscxcotx-∫(csc^3)xdx+∫cscxdx
=-cscxcotx-∫(csc^3)xdx+ln|cscx-cotx|
移项得 原式=1/2【-cscxcotx+ln|cscx-cotx|】+C