Question

为什么无穷级数tan（1/ n）收敛但发散？

Answer 1

不满足级数收敛的必要条件，所以，发散。

n/(n+1)为正项级数，其中每一项皆为非0的实数或复数，如果

n=1

|un+11im

|=p.

n→0o|un

当p<1时级数收敛；·当p>1时级数发散；

当p=1时级数可能收敛也可能发散。

达朗贝尔判别法

判断无穷级数tan[1/(n*n)]是正项级数还是交错级数，根据三角函数tanx的性质及1/(n*n)的取值区间可知：无穷级数tan[1/(n*n)]是正项级数。

对于正项级数，是不存在条件收敛的情况的，所以，只需判断无穷级数tan[1/(n*n)]是绝对收敛的还是发散的。

根据达朗贝尔判别法，需要判断当n趋向于无穷大时，tan{1/[(n+1)*(n+1)]}和tan[1/(n*n)]的比值是否小于1。

n趋向于无穷大时，tan{1/[(n+1)*(n+1)]}和tan[1/(n*n)]的比值是小于1的。达朗贝尔判别法，可以得出结论：无穷级数tan[1/(n*n)]是绝对收敛的。