Question

若不等式x^2-logax<0在（0，1/2）内恒成立，则a的取值范围？

答案是这个。
就是为什么有=呢。不是1/16<a<1?

Answer 1

首先画张图，可知道0<a<1,而a在（0，1）时，logax是单调递减的，x^2在（0，1/2)是单调增的，所以要x^2-logax<0在（0，1/2）内恒成立，即x^2<logax在（0，1/2）内恒成立,只要x^2在（0，1/2）上的最大值小于logax在（0，1/2）上的最小值就行，根据单调性x^2在（0，1/2）上的最大值是小于当x＝1/2的值的，即小于1/4,而logax在（0，1/2）上的最小值是大于当x=1/2的值的，即大于loga1/2，所以1/4≤loga1/2,
loga(a^1/4)≤loga1/2，logax是单调递减的，所以a^1/4≥1/2,a≥1/16
综上1/16≤a<1

因为x^2的值是小于1/4,取不到1/4的，
logax是大于loga1/2，取不到loga1/2的
所以等于的话logax还是大于x^2

Answer 2

首先画张图，可知道0<a<1,而a在（0，1）时，logax是单调递减的，x^2在（0，1/2)是单调增的，所以要x^2-logax<0在（0，1/2）内恒成立，即x^2<logax在（0，1/2）内恒成立,只要x^2在（0，1/2）上的最大值小于logax在（0，1/2）上的最小值就行，根据单调性x^2在（0，1/2）上的最大值是小于当x＝1/2的值的，即小于1/4,而logax在（0，1/2）上的最小值是大于当x=1/2的值的，即大于loga1/2，所以1/4≤loga1/2,
loga(a^1/4)≤loga1/2，logax是单调递减的，所以a^1/4≥1/2,a≥1/16
综上1/16≤a<1
因为x^2的值是小于1/4,取不到1/4的，
logax是大于loga1/2，取不到loga1/2的
所以等于的话logax还是大于x^2

Answer 3

首先画张图，可知道0<a<1,而a在（0，1）时，logax是单调递减的，x^2在（0，1/2)是单调增的，所以要x^2-logax<0在（0，1/2）内恒成立，即x^2<logax在（0，1/2）内恒成立,只要x^2在（0，1/2）上的最大值小于logax在（0，1/2）上的最小值就行，根据单调性x^2在（0，1/2）上的最大值是小于当x＝1/2的值的，即小于1/4,而logax在（0，1/2）上的最小值是大于当x=1/2的值的，即大于loga1/2，所以1/4≤loga1/2,
loga(a^1/4)≤loga1/2，logax是单调递减的，所以a^1/4≥1/2,a≥1/16
综上1/16≤a<1
因为x^2的值是小于1/4,取不到1/4的，
logax是大于loga1/2，取不到loga1/2的
所以等于的话logax还是大于x^2

Answer 4

当a>1时，logax在（0，1）上为负数,而x^2>0,所以0<a<1.
通过做草图可以看出，y=x^2和y=logax在（0，1）内有个交点P(Px,Py),
而且当0<x<Px时恒有x^2<logax.
先取Px为1/2,
则1/4=loga(1/2),
观察法可得a=1/16.
现在判断对于同一x值，当a变化时logax的变化。通过做图可看出。当a取值越大时Px越大。
所以，最终答案为：1/16<a<1