Question

若不等式2^x-logax<0,当x∈(0,1/2)时恒成立,求实数a的取值范围 步骤谢谢

Answer 1

将这个不等式转化为：
x²<log(a)[x]，其中x∈(0，1/2)
注意到函数f(x)=x²在区间(0，1/2)上的图像，则：
要使得x²<log(a)[x]，则：
0<a<1 -------------------------------------------------------(1)
另外，利用函数f(x)=x²及g(x)=log(a)[x]的单调性，还必须：
f(1/2)≤g(1/2)
(1/2)²≤log(a)[1/2]
1/4≤log(a)[1/2] 【注意0<a<1】
则：
a≥1/16 ------------------------------------------------------(2)
根据(1)、(2)，得：1/16≤a<1

【本题应该是：x²－log(a)[x]<0】

追问

我做的这个题就是2^x-logax<0

追答

请再核实下题目，这个题目应该是x²－log(a)[x}<0

Answer 2

2^x是增函数，当x∈(0,1/2)时，2^x的值域(1，√2)，不等式2^x-logax<0,则logax>2^x>0，logax当x∈(0,1/2)时,当0<a<1时logax>0，此时logax为减函数，loga1/2>√2，实数a的取值范围：0<a<(1/2)^(√2/2)。