Question

已知不等式x^2-logax<0,当x∈(0,1/2)时恒成立,求实数a的取值范围

不要抄网上的

Answer 1

解答如下：
x² - logax ＜ 0
所以x² ＜ logax
在x∈(0,1/2)时恒成立
所以x²的最大值小于logax的最小值
所以 x² ＜ 1/4 ≤ logax
当a ＞ 1时，logax为递增
但最小值为负数不成立
当0 ＜ a ＜ 1时，logax为递减
最小值在x = 1/2上取到（但x取不到1/2）
所以loga 1/2 ≥ 1/4 = log1/16 1/2
所以0 ＜ a ≤ 1/16

Answer 2

[1/16,1)
解答：移向得x^2<logax，由图像可知a＞1不合适，所以0＜a＜1，这时logax单调递减，x^2增
所以要使得x^2-logax<0,当x∈(0,1/2)时恒成立, 只需要当x=1/2时，logax的值大于或等于x2的值（注意x=1/2是开的），即为loga 1/2≥1/4，所以得出答案了，
若还不懂 请追问 谢谢

Answer 3

令f(x)=x^2-logax
故f(x)的导函数为f*(x)=2x-1/xlna令f*(x)=0
若0<a<1 0<x<1/2 则f*(x)恒大于0 故在（0,1/2）之间f(x)单调递增，故有f(1/2)小于0
0<a<=1/16‘
当a>1且x∈(0,1/2)
f*(x)=0时 x=(1/ln2)^1/2
此时f(x)取最小值
f(1/2)<0
解得a范围与以上条件不符
故a范围为（0,1/16]