Question

下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？问详细解答过程

Answer 1

这两个题其实没有什么好想的，考的就是柯西-黎曼方程。
(1)f(z)=|z|²z=(x^2+y^2)(x+iy)=x(x^2+y^2)+iy(x^2+y^2)，
所以u=x(x^2+y^2)，v=y(x^2+y^2)，
因此四个偏导数分别为ux=3x^2+y^2,uy=2xy,
vx=2xy,vy=x^2+3y^2.
根据柯西-黎曼方程，vx=-uy，得到2xy=-2xy即xy=0，所以x=0或y=0；
另外，根据ux=vy得到3x^2+y^2=x^2+3y^2，进而得到x^2=y^2即x=y或x=-y。根据这两个条件即可得到，f(z)仅在z=0处可导。因此在平面上处处不解析（因为解析就以为在某个小区域内都可导）。
(2)u=x^2,v=y^2，所以四个偏导数分别为
ux=2x,uy=0,vx=0,vy=2y
根据柯西-黎曼方程得到x=y。
所以f(z)在直线y=x上处处可导。同时因为解析必定是在某个区域上才能存在，因此f(z)在整个平面上处处不解析。
解毕。