Question

高等数学 例28不会 答案的第一步就没看懂 我的问题如图2，求大神详解！

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Answer 1

解：

分析：（你分多，给你讲明白！）
1、你完全被所谓的什么“树形变量”指代给整晕了！
2、实际上，我本人也是非常反感什么树形变量指代的方法的，因为这完全就是蠢猪的教学方式，你糊涂其实不能完全怪你！
3、另一个方面，到底是自变量还是中间变量，根本没有那么重要！重要的是看谁对谁求偏导，比如，z=f(x,y)=F(ξ，η)，对x求，那么x就是自变量，对ξ求，那么ξ就是自变量，只不过，x和ξ存在微分关系罢了！
4、以下，我会用两种方法，给你算，你可以发现，都使能求出结果的！
方法1°
根据已知：
ξ=x+ay，η=x+by，于是：
x=(aη-bξ)/(a-b)，(a≠b)
y=(ξ-η)/(a-b)，(a≠b)
因此：
∂x/∂ξ=-b/(a-b)
∂x/∂η=a/(a-b)
∂y/∂ξ=1/(a-b)
∂y/∂η=-1/(a-b)
根据题意：u=f[x(ξ，η)，y(ξ，η)]，于是：
∂u/∂ξ=f'x·(∂x/∂ξ)+f'y·(∂y/∂ξ)
∂²u/∂ξ∂η
=(∂x/∂ξ)·[f''xx·(∂x/∂η)+f''xy·(∂y/∂η)]+(∂y/∂ξ)·[f''yx·(∂x/∂η)+f''yy·(∂y/∂η)]
∵二阶偏导连续，混合偏导相等
∂²u/∂ξ∂η
=f''xx·[(∂x/∂ξ)·(∂x/∂η)]+f''xy·[(∂x/∂ξ)·(∂y/∂η)+(∂y/∂ξ)·(∂x/∂η)]+f''yy·[(∂y/∂ξ)·(∂y/∂η)]
=0
又∵
4f''xx+12f''xy+5f''yy=0
因此：
(∂x/∂ξ)·(∂x/∂η)=4
(∂x/∂ξ)·(∂y/∂η)+(∂y/∂ξ)·(∂x/∂η)=12
(∂y/∂ξ)·(∂y/∂η)=5
计算略
当a=b时，显然不满足题设！
方法2°
根据已知：
ξ=x+ay，η=x+by，于是：
∂ξ/∂x=1，∂ξ/∂y=a
∂η/∂x=1,∂η/∂y=b
原函数：u=f(x,y)，可以转换成：u=u(ξ,η)=u[ξ(x,y),η(x,y)]
因此：
∂u/∂x=u'ξ·(∂ξ/∂x)+u'η·(∂η/∂x)
∂²u/∂x²
=(∂ξ/∂x)·[u''ξξ·(∂ξ/∂x)+u''ξη·(∂η/∂x)]+(∂η/∂x)·[u''ηξ·(∂ξ/∂x)+u''ηη·(∂η/∂x)]
=(∂ξ/∂x)²·u''ξξ+(∂η/∂x)²·u''ηη
∂²u/∂x∂y
=(∂ξ/∂x)·[u''ξξ·(∂ξ/∂y)+u''ξη·(∂η/∂y)]+(∂η/∂x)·[u''ηξ·(∂ξ/∂y)+u''ηη·(∂η/∂y)]
=[(∂ξ/∂x)·(∂ξ/∂y)]·u''ξξ+[(∂η/∂x)·(∂η/∂y)]·u''ηη
∂u/∂y=u'ξ·(∂ξ/∂y)+u'η·(∂η/∂y)
∂²u/∂y²
=(∂ξ/∂y)·[u''ξξ·(∂ξ/∂y)+u''ξη·(∂η/∂y)]+(∂η/∂y)·[u''ηξ·(∂ξ/∂y)+u''ηη·(∂η/∂y)]
=(∂ξ/∂y)²·u''ξξ+(∂η/∂y)²·u''ηη
因此:
[4(∂ξ/∂x)²+5(∂ξ/∂y)²+12(∂ξ/∂x)·(∂ξ/∂y)]·u''ξξ+[4(∂η/∂x)²+5(∂η/∂y)²+12(∂η/∂x)·(∂η/∂y)]·u''ηη=0
若要上述等式成立，只能是：
4(∂ξ/∂x)²+5(∂ξ/∂y)²+12(∂ξ/∂x)·(∂ξ/∂y)=0
4(∂η/∂x)²+5(∂η/∂y)²+12(∂η/∂x)·(∂η/∂y)=0
计算略！

追问

抱歉，昨天满课没来得及看，现在法一还有两个地方不懂，图2是我的问题

Answer 2

u 是 x, y 的函数，ξ= x+ay， n = x+by， 也分别 x, y 的函数，
则 u 是 ξ, n 的函数 ， 即 u = u[ξ(x,y), n(x,y)]
故有 ∂u/∂x = (∂u/∂ξ) (∂ξ/∂x) + (∂u/∂n) (∂n/∂x)

Answer 3

你理解错了，你把x。y都看做复合函数或者别的未知数就好理解了。你求对x求导，后面两个未知数里还包括x和y。你对x求导是要求到最后的。你再看下书上的链式法则就好了。