若可微函数f(x)满足关系式f(x)=∫f(t)dt,x范围0~x,证明f(x)≡0 多谢了
∫[0，x](t+1)f'(x-t)dt=x^2+e^x-f(x)，设F'(t) = f(t)
x=0时，左边=0，右边=1-f(0)，故f(0) = 1
左边 = -∫[0，x](t+1)d[f(x-t)]
= ∫[0，x]f(x-t)dt - (t+1)f(x-t)|(0，x)
= ∫[0，x]f(x-t)dt + f(x) - (x+1)
即∫[0，x]f(x-t)dt + f(x) - (x+1) = x^2 + e^x - f(x)
∫[0，x]f(x-t)dt = x^2 + e^x - 2f(x) + (x+1)
左边对x求导得
[∫[0，x+Δx]f(x+Δx-t)dt - ∫[0，x]f(x-t)dt]/Δx
= ∫[0，x][f(x+Δx-t)-f(x-t)]dt/Δx + ∫[x，x+Δx]f(x+Δx-t)dt/Δx
= ∫[0，x]f'(x-t)dt + [F(t)/Δx]|(x，x+Δx)
= -f(x-t)|(0，x) + f(x)
= 2f(x) - 1
右边对x求导得
2x + e^x - 2f'(x) + 1
2f(x) - 1 = 2x + e^x - 2f'(x) + 1
整理得
f'(x) + f(x) = x + (e^x)/2 + 1
解这个微分方程得
f(x) = x + (e^x)/4 + Ce^(-x)
扩展资料：
可导，即设y=f(x)是一个单变量函数， 如果y在x=x0处左右导数分别存在且相等，则称y在x=x[0]处可导。如果一个函数在x0处可导，那么它一定在x0处是连续函数。
函数可导的条件：
如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在其上都有定义。函数在定义域中一点可导需要一定的条件：函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。
可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。
一个函数的原函数等于自己，
第一种情况即0求导等于0，
另一种即f(x)等于e^x，但是由题意可知，方程右边等于F(x)－F(0)等于左边f(x)
代入e^x得e^x=e^x－1可推翻这种情况
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