Question

设A是n阶方阵,证明秩(A)=秩(A+)

设A是n阶方阵,证明秩(A)=秩(A+)

Answer 1

因为 秩（A+I）+秩（A-I）=n
所以 (A+I)X=0 基础解系含向量个数
+ (A-I)X=0 基础解系含向量个数
= n-r(A+I) + n-r(A-I)
= n
所以 A 有n个线性无关的特征向量,特征值为1或-1.
所以 存在可逆矩阵P满足 :
A = P^-1 diag(a1,a2,...,an)P 其中ai=1或-1
所以 A^2 = P^-1 diag(a1^2,a2^2,...,an^2)P = P^-1 I P = I.