Question

一道高中数列题目！！！

已知数列{an}的前n项和为Sn,其中an=Sn/(n(2n-1))且a1=1/3，
求：（1）a2,a3
(2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明

Answer 1

(1)a1=1/3,a2=1/15,a3=1/35
(2)猜想an=1/(2n-1)(2n+1)
当n=1时a1=1/1*3=1/3成立
假设n=k时ak=1/(2k-1)(2k+1)成立，因为
ak=(1/2)[1/(2k-1)-1/(2k+1)]
所以Sk=(1/2)[1-1/(2k+1)]=k/(2k+1)
又，a(k+1)=[Sk+a(k+1)]/[(k+1)(2k+1)]
=[k/(2k+1)+a(k+1)]/[(k+1)(2k+1)]
解得a(k+1)=1/(2k+1)(2k+3)
综上，an=1/(2n-1)(2n+1)

Answer 2

用a1+a2+a3+……+an表示Sn再求

Answer 3

a1=1/3 s1=1/3 s2=a1+a2 所以a2=s2/(2*(2*2-1)) 可求a2 同理可求a3 关于(2) 应该猜想再证明,不过可以用an=Sn-Sn-1,再化简得Sn和Sn-1 的关系而的出结论(不过题目要求的是数学归纳法..还是先猜想,后证明为妙)

Answer 4

a2=1/15 a3=1/35
an=1/(2n-1)(2n+1) 数学归纳法证明写下应该很容易！
求an时把Sn变Sn-1的一式子，两个相减，可求的an/an-1=2n-3/2n+1 用连乘法就行了！